شکل 3-5 پارامترهای چگالی تراز پدیده شناختی برای سه مدل موردنظر46
شکل 3-6 مقادیر محاسبه شده و برازش شده پارامترهای مدل جابجایی گاز فرمی50
شکل 3-7 مقادیر محاسبه شده و برازش شده پارامترهای مدل جابجایی گاز فرمی وابسته به انرژی50
شکل 3-8 مقادیرمحاسبه شده و برازش شده پارامترهای مدل دمای ثابت51
شکل 4-1 تغییرات چگالی تراز تک ذرهای نوترونی بر حسب انرژی58
شکل 4-2 تغییرات چگالی تراز تک ذرهای نوترونی برحسب انرژی59
شکل 4-3 چگالی تراز تک ذرهای نوترونی برحسب انرژی60
شکل 4-4 چگالی تراز تک ذرهای نوترونی با اعمال پتانسیل وودز-ساکسون برحسب عدد جرمی63
شکل 4-5 چگالی تراز تک ذرهای پروتونی با اعمال پتانسیل وودز-ساکسون برحسب عدد جرمی63
شکل 4-6 چگالی تراز تک ذرهای نوترونی با اعمال پتانسیل نوسانگر هماهنگ برحسب عدد جرمی64
شکل 4-7 چگالی تراز تک ذرهای پروتونی با اعمال پتانسیل نوسانگر هماهنگ برحسب عدد جرمی64
شکل 4-8 چگالی تراز تک ذرهای پروتونی برحسب عدد جرمی65

در این سایت فقط تکه هایی از این مطلب با شماره بندی انتهای صفحه درج می شود که ممکن است هنگام انتقال از فایل ورد به داخل سایت کلمات به هم بریزد یا شکل ها درج نشود

شما می توانید تکه های دیگری از این مطلب را با جستجو در همین سایت بخوانید

ولی برای دانلود فایل اصلی با فرمت ورد حاوی تمامی قسمت ها با منابع کامل

اینجا کلیک کنید

شکل 4-9 نمودار پارامتر چگالی تراز با استفاده از پتانسیل وودز-ساکسون و تاثیر پتانسیل کولنی68
شکل 4-10 نمودار پارامتر چگالی تراز با استفاده از پتانسیل نوسانگر هماهنگ و تاثیر پتانسیل کولنی69
شکل 4-11 نمودار پارامتر قطع اسپین و تاثیر پتانسیل کولنی روی این پارامتر72
شکل 4-12 نمودار پارامتر قطع اسپین برحسب دمای هسته73
شکل 4-13 نمودار پارامتر قطع اسپین برحسب انرژی برانگیختگی74
فهرست جدولها
عنوان صفحه
جدول 3- 1 پارامترهای برازش شده برای سه مدل دمای ثابت، جابجایی گاز فرمی و مدل جابجایی گاز فرمی وابسته به انرژی برای تعدادی هسته44
جدول 4- 1 چگالی تراز تک ذرهای پروتونی و نوترونی در انرژی فرمی برای هستههای مختلف مربوط به پتانسیل وودز-ساکسون بدون در نظر گرفتن پتانسیل کولنی و با اعمال آن………………………………………………………………………………………………………56
جدول 4- 2 چگالی تراز تک ذرهای پروتونی و نوترونی در انرژی فرمی برای هستههای مختلف مربوط به پتانسیل نوسانگر هماهنگ بدون در نظر گرفتن پتانسیل کولنی و با اعمال آن62
جدول 4- 3 پارامتر چگالی تراز a با اعمال پتانسیل وودز-ساکسون برای تعدادی از هستههای سبک، نیمه سنگین و سنگین، با در نظر گرفتن پتانسیل کولنی و بدون پتانسیل کولنی66
جدول 4- 4 پارامتر چگالی تراز a با اعمال پتانسیل نوسانگر هماهنگ برای تعدادی از هستههای سبک، نیمه سنگین و سنگین، با در نظر گرفتن پتانسیل کولنی و بدون پتانسیل کولنی67
جدول 4- 5 پارامتر چگالی قطع اسپین با اعمال پتانسیل وودز-ساکسون برای تعدادی از هستههای سبک، نیمه سنگین و سنگین، با در نظر گرفتن پتانسیل کولنی و بدون پتانسیل کولنی67
جدول 4- 6 پارامتر چگالی قطع اسپین با اعمال پتانسیل نوسانگر هماهنگ برای تعدادی از هستههای سبک، نیمه سنگین و سنگین، با در نظر گرفتن پتانسیل کولنی و بدون پتانسیل کولنی71
جدول 4- 7 مقادیر برازش شده برای جابجایی انرژی برانگیختگی و ثابت η.71
فصل اول
مقدمه
مقدمه
چگالی تراز تک ذرهای، g یکی از عناصر مهم در بررسی ساختار هسته میباشد، زیرا در تعیین چگالی تراز هسته، ρ نقش مهمی دارد. در بررسی چگالی تراز تک ذرهای از روشهای مختلفی استفاده شدهاست که از آن جمله به روشهای مکانیک کوانتومی از قبیل روش تابع گرین، روش اسموث1 و روش جابجایی فاز میتوان اشاره کرد، که در این روشها بازه انرژی به دو ناحیه تقسیم میشود، ناحیه انرژی پیوسته و نواحی انرژی مقید که بیشتر تمرکز روی نواحی پیوسته است.
یکی دیگر از روشها در بررسی چگالی تراز تکذرهای روش نیمه کلاسیکی میباشد که در این روش از میدان متوسط برای محاسبات استفاده شده است، که میدان متوسط نوترون شامل جملات پتانسیل هستهای و برهمکنش اسپین مدار و برای پروتون علاوه بر این جملات، پتانسیل کولنی را نیز دربرمیگیرد. تاکنون برای محاسبه چگالی تراز تک ذرهای با استفاده از روش نیمه کلاسیکی پتانسیلهای مختلفی برای هستههای کروی و تغییر شکل یافته پیشنهاد شده است که از جمله آنها به پتانسیل چاه مربعی متناهی و نامتناهی، پتانسیل نوسانگر هماهنگ و پتانسیل وودز-ساکسون2 میتوان اشاره کرد. در روش محاسبه مستقیم پارامتر چگالی تراز با استفاده از این روش، انتخاب پتانسیل میدان میانگین برای بدست آوردن چگالی تراز تک ذرهایg و مقدار آن در انرژی فرمی نقش تعیین کنندهای دارد[1].
انرژی فرمی بصورت انرژی بالاترین حالت تک ذرهای پرشده در حالت پایه هسته تعریف میشود. مقدار انرژی فرمی برای پروتون و نوترون متفاوت است[2].
در هستههای سنگین به دلیل نزدیک شدن ترازها به همدیگر و همپوشانیهای آنها تمایز بین ترازها سخت میباشد و با افزایش انرژی، ترازها بیشتر بهم نزدیک میشوند. به همین دلیل چگالی تراز برای هستههای سنگین دارای اهمیت قابل توجهی است. چگالی تراز یکی از پارامترهای مهم ساختار هسته به حساب میآید که با استفاده از آن سایر پارامترهای ترمودینامیکی هسته از قبیل دما، آنتروپی، فشار و ظرفیت گرمایی را میتوان بدست آورد[3,4].
بطورکلی برای محاسبه چگالی تراز از دو روش مستقیم وغیر مستقیم استفاده میشود. در روش غیرمستقیم با محاسبه آنتروپی و تابع پارش هسته و با استفاده از رابطه بین آنتروپی و چگالی تراز هستهای، چگالی تراز محاسبه میشود. به عنوان مثال به مدلهای آماری BCS 3 ، SMMC 4 و SPA+RPA 5 میتوان اشاره کرد[5-7].
در محاسبه چگالی تراز بطور مستقیم از روشهای آماری که به صورت تئوری ارائه میشوند استفاده میشود. به عنوان مثال به مدلهای آماری CTM 6 ، FGM 7 ، BSFGM 8 و GSM 9 می توان اشاره کرد. در این مدلها پارامتر چگالی تراز بطور تئوری و نیمه تجربی محاسبه میشود. در بسیاری از مطالعات مربوط به محاسبه برهمکنشهای هستهای، فرمولهای تحلیلی مربوط به چگالی تراز ترجیح داده میشوند[3,8-10].
در این مدلها پارامترهای چگالی تراز بطور تئوری و نیمه تجربی محاسبه میشوند. در بسیاری از مطالعات مربوط به محاسبه برهمکنشهای هستهای، فرمولهای تحلیلی مربوط به چگالی تراز ارجعیت دارند.
در مدل دمای ثابت،CTM بازه انرژی به دو بخش تقسیم میشود که در بخش انرژیهای پایین از ثابت بودن دما میتوان استفاده کرد و در انرژیهای بالا مدل گاز فرمی مورد استفاده قرار میگیرد. مسئله اصلی در این مدل ایجاد ارتباط بین نواحی کم انرژی و نواحی انرژی بالاست. این مدل پدیدهشناختی10 براساس فرمول بت11 که در آن برهمکنشهای هستهای لحاظ نمیشود، بنا شده است[11].
سادهترین بیان تحلیلی برای بررسی چگالی تراز مدل گاز فرمی است که در آن هستهها بدون برهمکنش در نظر گرفته شده واز اثرات تجمعی صرفنظر میشود. مدل BSFGMبا اعمال برخی اصلاحات در مدل گاز فرمی و با درنظرگرفتن جفت شدگیهای نوکلئونی در بر همکنشهای هستهای، ارائه شده است، این مدل در همهی انرژیها برای بررسی چگالی تراز مورد استفاده قرار میگیرد.
در مدل BSFGM چگالی تراز هستهای دارای دو پارامتر چگالی تراز تک ذرهای و انرژی جابجایی برانگیختگی است. معمولا این پارامترها به عنوان پارامترهای قابل تنظیم از طریق برازش دادههای تجربی تعیین میشوند. اگرچه برای محاسبه پارامتر چگالی تراز، به جز برازش از مدلهای مختلف هستهای مثل مدل قطره مایع، مدل لایهای و رابطه نیمه تجربی نیز میتوان استفاده کرد و این پارامتر را بطور مستقیم محاسبه نمود.
مدلهای هستهای
مدلهای هستهای تقریبها و فرضهایی هستند که برای شناخت ساختار هسته و نیروی هستهای و بر اساس شواهد تجربی معرفی میشوند و به دو دسته تقسیم میشود مدلهای نیمه کلاسیکی (Semi-classical models) یا مدلهای ذرهای مانند مدل قطره مایع (Liquid drop model) و مدلهای کوانتومی (quantum mechanics models) مثل مدل لایهای (Shell model).

1-2مدل قطره مایع
با توجه به اینکه در هسته هر نوکلئون با نوکلئونهای مجاور خود برهمکنش میکند و به هر نوکلئون از اطراف توسط نوکلئونهای مجاور نیرو وارد میشود، در نتیجه نوکلئونهای داخل هسته را می توان در حال حرکت فرض کرد. در ضمن نیروی هستهای ضمن اینکه جاذبه است، دارای یک جمله دافعه نیز میباشد که نوکلئونها را در یک فاصله معینی از همدیگر نگه می دارد. با توجه به اینکه وضعیت نوکلئونها در هسته مانند وضعیت مولکولها در مایع میباشد ماده هستهای را میتوان سیال هستهای نامید. هر نوکلئونی که در نزدیکی لایهی هستهای قرار دارد نیروی خالصی به سمت داخل احساس میکند به طوری که موجب میشود سطح خارجی خود را به کمترین مقدار سازگار با حجم خود تغییر دهد. شکل هندسی که این سازگاری را دارد کروی است. بنابراین شکل هسته را بصورت کروی میتوان فرض کرد. با توجه به این توضیحات میتوان هسته را مانند یک قطره مایع در نظر گرفت.
انواع مدلهای تجمعی هستهای (Collective model) همانند مدل دورانی (Rotational model) و مدل ارتعاشی (Vibrational model) در محاسبات از مدل قطره مایعی استفاده میکنند. با توجه به این اصل که دوران و ارتعاش هسته بطور کامل مشابه دوران و ارتعاش یک قطره مایع معلق میباشد.
1-3 مدل لایهای
مدل لایهای یکی از مدلهای هستهای به حساب میآید که با در نظر گرفتن پتانسیل میدان متوسط و پتانسیل ناشی از برهمکنش نوکلئونها، ترازهای نوترون و پروتون هسته را با دقت بالایی نتیجه میدهد. فرض اساسی در مدل لایهای این است که علیرغم جاذبه شدید بین نوکلئونها که انرژی بستگی کل هسته را ایجاد میکند حرکت هر نوکلئون در واقع مستقل از نوکلئونهای دیگر است، اگر تمام جفت شدگیهای بین نوکلئونی یا تمام برهمکنشهای زوجیت نادیده گرفته شوند، مدل لایهای را مدل لایهای تک ذرهای میگویند. بنابراین در مدل لایهای تک ذرهای هر نوکلئون در پتانسیل متوسط یکسان با سایر نوکلئونها حرکت میکند. بنابراین انتخاب یک پتانسیل هستهای مناسب مهم است. پتانسیل هستهای مناسبی که بتوان نوکلئونها را تحت آن پتانسیل در ترازهای انرژی قرار داد بایستی بتوانند نظام هسته را توجیه کند و با آزمایش و تئوری هماهنگ باشد. پتانسیلهای هستهای معرفی شده عبارتند از پتانسیل کروی، پتانسیل چاه مربعی متناهی و نامتناهی، پتانسیل نوسانگر هماهنگ و پتانسیل وودز-ساکسون.
با اعمال پتانسیل چاه مربعی و نوسانگر هماهنگ ترازها به صورت تبهگن بدست میآیند. پتانسیل شعاعی وودز-ساکسون به همراه پتانسیل ناشی از برهمکنش اسپین مدار ترازهای هستهای و اعداد جادویی را که نشان دهنده لایههای بسته هستهای هستند به درستی نتیجه میدهد[13].
با حل معادله شرودینگر برای پتانسیلهای میدان میانگین، بدون در نظر گرفتن جفتشدگی نوکلئونها، ترازهای انرژی و معادله موج نوکلئونی بدست میآید. ترازهای انرژی تک-نوکلئونی نوترونی و پروتونی بعنوان یک پارامتر اساسی در تعیین پارامترهای ترمودینامیکی هسته از قبیل دما، آنتروپی، فشار و ظرفیت گرمایی نقش ایفا میکنند. چگالی تراز هستهای بصورت تعداد ترازهای هسته در واحد انرژی برانگیختگی مؤثر تعریف میشود.
در فصل دوم این پژوهش، به بررسی چگالی تراز تک ذرهای و روشهای مختلفی که در بررسی چگالی تراز تک ذرهای دارای اهمیت اند پرداخته ایم. در فصل سوم چگالی تراز هستهای و مدلهایی که در آنها پارامترهای چگالی تراز بطور تئوری و نیمه تجربی محاسبه میشوند معرفی شدهاند و همچنین شیوههای برازش و اثرات تجمعی نیز ارائه شدهاند. در نهایت در فصل چهارم پارامتر چگالی تراز در مدل BSFGM بصورت تابعی از چگالی تراز تک ذرهای با استفاده از مدل نیمه کلاسیکی برای پتانسیلهای نوسانگر هماهنگ، چاه پتانسیل مربعی و پتانسیل وودز-ساکسون برای تعدادی از هستههای سبک، متوسط و سنگین محاسبه شده اند و نتایج بدست آمده با نتایج سایر روشها مقایسه شده است.
فصل دوم
چگالی تراز تک ذرهای
چگالی تراز تک ذرهای
یکی از اجزا مهم در بررسی ساختار هسته و برهمکنشهای هستهای چگالی تراز تک ذرهای، g میباشد که به میدان متوسط هستهها وابسته شده است. از چگالی تراز تک ذرهای در محاسبه چگالی تراز هستهای ρ که برای توصیف برهمکنشهای هستهای و خصوصیات ترمودینامیکی آن مورد نیاز است، استفاده میشود. در روش محاسبه پارامتر چگالی تراز با استفاده از مدل لایهای، g چگالی تراز تک ذرهای، نقش تعیین کنندهای دارد. بطور خاص چگالی تراز تک ذرهای که با روش تصحیح لایهای تعریف شده است، یکی از عناصر اصلی در محاسبه انرژیهای حالت پایه و تغییر شکل هستههای سرد میباشد.
برای بررسی کمیتهای بالا دانستن چگالی تراز تک ذرهای در بازه بزرگی از انرژی E که شامل نواحی پیوسته و مقید است، مورد نیاز است. برای توصیف خواص هسته، محاسبه چگالی تراز در نواحی پیوسته بسیار اهمیت دارد و بطور خاص برای هستههای برانگیخته این اهمیت بیشتر هم میشود.
در مرجع [13] چگالی تراز تک ذرهای جزیی g_l (E) و چگالی تراز تک ذرهای کل g(E) معرفی شدهاند که چگالی تراز تک ذرهای کل بصورت جمع روی g_l (E) چگالی تراز تک ذرهای در نواحی l_max≤40 میباشد، که این بازه به چاههای پتانسیل متناهی مربوط میشود. در محاسبه چگالی تراز تک ذرهای از روشهای مختلفی استفاده شده است که از آن جمله روش جابجایی فاز، روش اسموث، روش تابع گرین و روش نیمه کلاسیکی را میتوان نام برد که در ادامه به تفصیل معرفی میشوند.
با در نظر گرفتن یک ذره مانند نوکلئون که در یک پتانسیل کروی تک ذرهای (میدان متوسط) درحال حرکت است هامیلتونی، H چنین ذرهای به شکل زیر تعریف می شود
(2-1) H=P^2/2m+V(r)
چگالی تراز تک ذرهای متناظر با آن با رابطه زیر معرفی می شود
(2-2) g(E)=Tr(δ(E-H))
که در آن V(r) پتانسیل میدان متوسط هستهای و m جرم نوکلئون میباشد. برای یک چاه پتانسیل نامتناهی، مقادیرویژه انرژی حالت مقید Hو چگالی تراز تک ذرهای 〖 g〗_E بصورت زیر معرفی می شود
(2-3) g(E)=∑_i▒δ(E-E_i )
که در آن E_iها ویژه توابع انرژی میباشند که با استفاده از رابطه زیر حاصل میشوند
(2-4) Hψ_i=E_i ψ_i.
در بررسی چگالی تراز تک ذرهای طیف مربوط به تک ذره به دو ناحیه تقسیم میشود، حالتهای مقید در E≤”0″ و حالتهای پیوسته E>0 که مقید نیستند و بیشتر تمرکز روی نواحی پیوسته است. اگر سیستمی را بصورت یک ذره در جعبه کروی نامتناهی با شعاع R بزرگتر از بازهی V(r) در نظر بگیریم که رابطه (2-1) توصیف کننده آن است، بایستی پیوستگی را از آن مجزا کنیم. چگالی تراز تک ذرهای که با استفاده از معادلات (2-3) و (2-4) تعریف شده است به R وابسته است و برای E>0 چگالی تراز تکذرهای با افزایش R افزایش مییابد. این رابطه به سهم به اصطلاح چگالی تراز تک ذرهای گاز آزاد g_F (E) در چگالی تراز تک ذرهای g(E) بستگی دارد که با استفاده از هامیلتونی ذره آزاد H_0 محاسبه میشود، این هامیلتونی با رابطه زیر تعریف میشود
(2-5) H_0=P^2/2m.
در نتیجه چگالی تراز تک ذرهای که به چاه پتانسیل متناهی V(r) وابسته است بصورت زیر معرفی میشود
(2-6) g(E)=(lim)┬(R→∞)⁡[g_v (E)-g_f (E)]
که در آن g_v با استفاده از هامیلتونی H و g_f با استفاده از هامیلتونی H_0 محاسبه می شوند. با درنظرگرفتن اندازه حرکت زاویهای، چگالی تراز تک ذرهای بصورت رابطه زیر تعریف میشود
(2-7) g(E)=(lim)┬(R→∞)⁡∑_(l=0)^(l_max)▒〖g_l (E) 〗
که در آن g_l (E) شامل 2(2l+1) فاکتور است که تبهگنی را نشان میدهد و به اسپین و پتانسیل کروی مربوط میشود[14].
2-1 روش جابجایی فاز
روش جابجایی فاز یکی از روشهایی است که در بررسی چگالی تراز تک ذرهای بسیار مورد استفاده قرار میگیرد. در این روش چگالی تراز تک ذرهای 〖 g〗_l (E) به صورت حاصل جمع دو بخش تعریف میشود
(2-8) g_l (E)=g_Bl (E)+g_Cl (E)
که در آن 〖 g〗_Bl (E) سهم مربوط به حالتهای مقید میباشد که از هامیلتونی H با ویژه انرژیهای E_nl حاصل میشود. و با رابطه زیر تعریف میشود
(2-9) g_Bl (E)=∑_(E_nl≤0)▒2(2l+1)δ(E-E_nl ) .
برای توصیف سهم مربوط به حالتهای پیوسته 〖 g〗_Cl (E)، سیستمی بصورت یک جعبه کروی بزرگ با شعاعR در نظر گرفته میشود که در آن جوابهای منظم〖 ψ〗_l هامیلتونی H برای E>0 در حالتهای مقید ψ_l (0)=0 میباشد و برای دیگر حالات رابطه زیر معرفی شده است
(2-10) ψ_l ├ (r)┤|_(r→∞)→const 1/r sin⁡(kr-1/2 lπ+δ_l (E))
که در آن k=√(2mE⁄ħ^2 ) عدد موج است و δ_l (E) جابجایی فاز میباشد. در این رابطه V(r) یک پتانسیل در بازهی محدود فرض شده است که در بینهایت سریعتر از 1⁄r میرا میشود. ویژه حالتهای با E>0 با استفاده از حالتهایی که درآن ψ_l (R)=0 است، بدست آمدهاند که به رابطه زیر منجر میشود
(2-11) kR-1/2 lπ+δ_l (E)=sπ
در رابطه (2-11) s عدد صحیح است. در نتیجه چگالی تراز کل از رابطه زیر بدست میآیند
(2-12) g_Cl^tot (E)=2(2l+1) ds/dE=1/π 2(2l+1) (dδ_l (E))/dE+2(2l+1)/π R dk/dE
جمله دوم در معادله بالا که با R متناسب است مربوط به سهم گاز آزاد ناشی از هامیلتونی H_0 است که با استفاده از یک جمله کروی با شعاع Rبدست آمده است. با کم کردن بخش مربوط به گاز آزاد رابطه زیر برای چگالی تراز تک ذرهای بدست می آید
(2-13) g_Cl (E)=1/π 2(2l+1) (dδ_l)/dE.
با توجه به اینکه چگالی تراز تک ذرهای که با معادلات (2-4)،(2-5)و(2-9) معرفی میشود مستقل از Rاست و ψ_l (R) ارائه شده برای rهای بزرگتر از بازه پتانسیل معرفی شده است، بنابراین جابجایی فاز به درستی تعریف شده است.
همانطور که مشاهده میشود رابطه (2-9) با تغییراتی در سهم مربوط به حالتهای مقید رابطه (2-5) درمورد حالتهایی با عمر طولانی با 〖 Г〗_(R→0) حاصل شده است که در آن 〖 Г〗_Rپهنای تشدید برای حالتهای متناظر با انرژی E_R است.
برای جابجایی فاز δ(E) در نواحی نزدیک انرژی E_R رابطه زیر را داریم
(2-14) δ(E)≈δ_0+arctan (Г_R⁄2)/(E_R-E)
که در آن δ_0 یک مقدار ثابت است و در Г_(R→0) ازرابطه زیر بدست می آید
(2-15) .dδ/dE=(Г_R⁄2)/((E_R-E)^2+(Г_R⁄2)^2 )≈πδ(E-E_R )
یک رابطه بسیار کاربردی بین جابجایی فاز در انرژی صفر 〖 δ〗_l (0)و تعداد حالات مقید N_L بصورت
(2-16) δ_l (0)-δ_l (∞)=N_l π
می باشد که درآن N_l تعداد حالتهای مقید برای معادله شرودینگر کاهش یافته شعاعی به ازای رابطه u_l (r)=rψ_l (r) میباشد[15]
(2-17) (d^2 u_l)/(dr^2 )-[l(l+1)/r^2 +2m/ħ^2 V(r)-k^2 ] u_l=0
2-2 روش تابع گرین
در بررسی چگالی تراز تک ذرهای روش تابع گرین نیز یکی از روشهای پرکاربرد میباشد. در این روش برای بررسی 〖 g〗_l (E) سیستمی بصورت یک جعبه کروی بزرگ با شعاع R بطوریکه در آن پیوستگی مجزا شده است، در نظر گرفته میشود. بنابراین تابع گرین تکذرهای که به هامیلتونی Hوابسته است توسط رابطه زیر معرفی میشود
(2-18) (H-E)G(r,(r,) ́E)=δ(r-r ́ )
که تابع گرین با نمایشی بصورت زیر معرفی میگردد
(2-19) G(r,(r,E) ́ )=∑_n▒(φ_n^* (r) φ_n (r))/(E_n-E)
در این رابطه φ_nها حالتهای تک ذرهای مقید متناظر با ویژه انرژیهای E_n میباشند. همچنین تعریف مشابهی برای 〖 G〗_0 (r,(r,) ́E)بصورت وابسته به هامیلتونی H_0 ارائه میشود. با در نظر گرفتن بخش موهومی G(r,r ́,E)و G_0 (r,r ́,E) و جداکردن اجزا زاویهای آنها، چگالی تراز تک ذرهای باتوجه به معادله (2-4) از رابطه زیر بدست میآید
(2-20) g_l (E)=(lim)┬(α→0,R→∞)⁡2(2+1) 1/π ∫_0^R▒dr[ImG_l (r,r ́,E+iα)┤
-├ ImG_0l (r,r ́,E+iα)]_(r=r ́ )
توابع گرین 〖 G〗_l (r,r ́,E)و G_0l (r,r ́,E) معرفی شده در معادله بالا بصورت زیر تعریف میشوند
(2-21) G_l (r,r ́,E)=-2m/ћ^2 (u_l (r_< ) v_l (r_> ))⁄W
در این رابطه 〖 r〗_<و r_> به ترتیب دارای مقادیر کوچکتر و بزرگتر از r و ( r) ́میباشند. توابع u_l و v_l به ترتیب جوابهای منظم و نامنظم برای معادله شعاعی (2-17) میباشند که به هامیلتونی H وابستهاند و W مساوی 4πR است.
تابع گرین تک ذرهای برای ذرات آزاد بدون اسپین در حالت خاص پتانسیل V(r)=0 بصورت رابطه زیر بدست میآید
(2-22) G_0 (r,r ́,E)=-2m/ħ^2 exp(ik|R|)/4π|R|
که در آن R=r-r ́ است.
در نتیجه با توجه به معادلات (2-22) و (2-24) چگالی تراز تک ذرهای برای ذره آزاد بصورت زیر تعریف میشود[16]
(2-23) g_0 (E)=1/〖4π〗^2 (2m/ћ^2 )^(3/2) √E.

2-3 روش هموار
نتایج حاصل از تصحیح لایهای روش استروتینسکای12، در مدل لایهای که به اصطلاح روش میکروسکوپیک-ماکروسکوپیک نامیده میشود، موجب شد که اصلاحاتی را در پیشبینی جرم هستهها و محاسبات مربوط به هسته های شکافت پذیر بتوان اعمال کرد. این مدل شامل ترکیبی از مدلهای قطره مایع و تصحیح لایهای است، در مدل قطره مایع انرژی E به آرامی با تعداد نوکلئونها N و Z تغییر میکند در صورتیکه در تصحیح لایهای این تغییرات به تندی صورت میگیرد.
در این روش g_M (E) به صورت یک تقریب چند جملهای از درجه M برای چگالی تراز واقعی درنظر گرفته شده است.
این تقریب در حوالی نقطه λ (که تراز فرمی واقعی را بیان میکند) در یک بازهی موثر [–γ+λ , γ+λ] با استفاده از تابع گوسی e^((-(E-λ)^2)⁄γ^2 ) بکار گرفته میشود. به همین دلیل چند جملهای ذکر شده علاوه بر M به λ و γ نیز مرتبط است. بهترین تقریب برای این مدل چند جملهایهای خطی هرمیت میباشند که به صورت H_k در محاسبات وارد میشود.
در نتیجه برای چگالی تراز تک ذرهای متوسط در این روش رابطه زیر تعریف میشود
(2-24) g ̅_(M,γ) (E,λ)=∑_(k=0)^M▒〖c_k H_k ((E-λ)/γ) 〗
بنابراین بایستی g ̅_(M,γ) (E,λ) بر حسب چند جمله ای طوری معرفی شود که انتگرال زیر را کمینه سازد
(2-25) I(λ,M,γ)=∫_(-∞)^∞▒〖[g_0 (E)-g ̅_(M,γ) (E,λ)]^2 exp(-((E-λ)/γ)^2 )dE〗
در مرجع [20] این کمینه سازی از طریق برازش مجذور مربعی انجام شده است. این روش را که در فصل بعدی به تفصیل توصیف خواهیم نمود، براساس کمینه سازی روابط بالا نسبت به c_k با استفاده از خاصیت اورتوگنالیتی چند جملهایهای هرمیت انجام میگیرد.
(2-26) g ̅_(M,γ) (E,λ)=∑_(m=0)^M▒〖c_m H_m ((E-λ)/γ) 〗
c_m (λ,γ)=1/(m!2^m √π) ∑_(n=0)^∞▒〖H_m (u_n ) 1/γ exp[-u_n^2 ] 〗
u_n=(E_n-λ)/γ
در معادله (2-26) λ به صورت ثابت فرض میشود و چند جملهای g ̅_(M,γ) (E,λ) تنها در نواحی E~λ مقدار چگالی تراز واقعی را ارضاء میکند. بنابراین برای رفع این مشکل لازم است λ به صورت یک متغیر درنظر گرفته شود.
از آنجا که ثابت c_m در معادله (2-26) به λ وابسته است و کمییت g ̅_(M,γ) (E,λ) تنها یک چند جملهای از λ نیست، واضح است که چگالی تراز در روش استروتینسکای یک چند جملهای واقعی نیست. در نتیجه با اعمال اصلاحات و جایگزینی λ با E روابط زیر برای این روش بدست میآید
(2-27) g ̅_(M,γ) (λ)=∑_(n=0)^∞▒〖F_M (U_n ) 〗, u_n=(E_n-λ)/γ,
F_M (x)=P ̃_M (x) 1/γ exp(-x^2 ),
P ̃_M (x)=∑_(m=0)^M▒〖A_m H_m (x), A_m=(H_m (0))/√(m!2^m √π) 〗
که در آن چند جملهای P ̃_M ترم تصحیح انحنا میباشد و برای چگالی تراز تک ذرهای در روش هموار رابطه زیر معرفی شده است
(2-28) g ̅_(M,γ) (E,λ)=∫_(-∞)^∞▒〖g_0 (E) F_M ((E-λ)/γ)dE〗
واضح است که وقتی M به بینهایت افزایش یابد و یا γ به سمت صفر میل کند، g ̅_(M,γ) (E,λ) نیز به سمت g_0 (E) میرود. این روش اگر چه خیلی مناسب است ولی ضعفهایی هم دارد از جمله اینکه به نتایج حاصل از دو پارامتر γ پهنا و M مرتبه وابسته است و با پیوستگی در پتانسیلهای واقعی مشکل دارد[17].
2-4 روش نیمه کلاسیکی
یک سیستم N فرمیونی بدون برهمکنش در نظر بگیرید که در دمای صفر قرار دارد بطوریکه فرمیونها در یک پتانسیل تک جسمی معین درحال حرکت باشند. برای توصیف بخش هموار انرژی از تابع پارش به صورت زیر استفاده میشود
(2-29) Z(β)=Tr(exp(-βH))
سادهترین راه برای اعمال اثرات لایهای جایگزین کردن تابع پارش کلاسیکی به جای تابع پارش معرفی شده دررابطه (2-29) میباشد که در آن H هامیلتونی موجود در رابطه نیز با هامیلتونی کلاسیکی جایگزین میگردد. این جابجایی به رابطه نیمه کلاسیکی منجر میشود که به رابطه توماس- فرمی نیز معروف است.
در روش نیمه کلاسیکی از یک روش بسطی برای تابع پارش باتوجه به نمای ℏ ثابت پلانک استفاده میشود که درآن جمله اول بسط به تابع پارش کلاسیکی مربوط میشود، جزئیات این روش را در مراجع [18,22] میتوان یافت. در این روش تا نمای چهارم ℏ در بسط استفاده میشود. در نهایت با استفاده از بسط نیمه کلاسیکی برای تابع پارش رابطه زیر بدست میآید
(2-30) Z^4 (β)=β^(-3/2)/(4π^(3/2) ) (2m/ħ^2 )^(3/2) ∫▒〖(dr ) ⃗exp(-βV) 〗 {1-(β^2 ħ^2)/24m ∇^2 V┤
+β^3/1440 (ħ^2/2m)^2 [-7∇^4 V┤+5β(∇^2 V)^2
+├ ├ β〖∇^2 (∇V)〗^2 ]} .
چگالی تراز تک ذرهای نیمه کلاسیکی بطور مستقیم از تابع پارش نیمه کلاسیکی با استفاده از لاپلاس معکوس محاسبه میشود
(2-31) g=Г_E^(-1) Z^4 (β)
در نهایت رابطه زیر برای چگالی تراز تک ذرهای در روش نیمه کلاسیکی حاصل می شود[18]
(2-32) g(E)=1/(2π^2 ) (2m/ћ^2 )^(3/2) ∫▒dr{√(E-V(r) ) ├ θ(E-V(r))}┤
که در آن θ(E) تابع پلهای میباشد. برای توجیه خواص هستهای از طریق مدل لایهای ابتدا باید یک پتانسیل هستهای تعریف کنیم که با این مدل مطابقت داشته باشد و بتواند ترازهای انرژی و لایهها را بطور دقیق مشخص کند. یکی از پتانسیلهای هستهای ابتدایی و متناسب با مدل لایهای پتانسیل چاه مربعی متناهی است که بصورت زیر تعریف میشود[23]
(2-33) V^SQ (r)={█(〖-V〗_(0 ) r<R@0 r>R)┤.
از آنجا که با صرف انرژی متناهی یک نوکلئون را از هسته میتوان خارج کرد، بنابراین پتانسیل چاه مربعی باید دارای عمق متناهی باشد که در رابطه بالا 〖 V〗_0نشاندهنده عمق چاه میباشد که در مراجع مختلف روابط مختلفی برای آن ارائه شده است و رابطهای که در این مطالعه از آن استفاده شده بصورت زیر تعریف میشود
(2-34) V_0=47±33 (N-Z)/A
که درآن علامت مثبت مربوط به پروتون و علامت منفی مربوط به نوترون است.
با جایگذاری پتانسیل رابطه (2-33) و (2-34) در رابطه (2-32) چگالی تراز تک ذرهای مربوط به چاه مربعی متناهی بصورت زیر بدست میآید
(2-35) g(E)=1/〖2π〗^2 (2m/ħ^2 )^(3/2) (4πR_0^3)/3 [√(E-V_0 ) θ(E-V_0 )]
در شکل (2-1) برای هسته 56Fe چگالی تراز تک ذرهای مربوط به روش نیمه کلاسیکی (روش توماس فرمی) برای چاه پتانسیل متناهی در بازه انرژی رسم شده است
شکل (2-1) نمودار چگالی تراز تک ذرهای نوترونی با استفاده از روش نیمه کلاسیکی برای چاه پتانسل مربعی برحسب انرژی [16]

همانطور که از شکل (2-1) مشخص است در نواحی انرژی مقید با افزایش انرژی چگالی تراز تکذرهای نیز افزایش مییابد در حالی که در نواحی پیوسته با افزایش انرژی چگالی تراز تک ذرهای کاهش مییابد و اثرات پیوستگی روی چگالی تراز تک ذرهای به خوبی در مدل نیمه کلاسیکی نمایش داده شده است.
اشکال عمده چاه مربعی در این است که دارای لبه تیز است در حالی که پتانسیل هستهای فاقد لبه تیز بوده و به تدریج صفر میشود. پتانسیل نوسانگر هماهنگ نیز بصورت زیر تعریف میشود
(2-36) V^HO (r)=1/2 mω^2 r^2-V_O
که در این رابطه 〖 V〗_0عمق چاه و ω فرکانس نوسان است. و شکل این پتانسیل بصورت (2-2) میباشد.
شکل (2-2) نمودار پتانسیل نوسانگر هماهنگ[24]

با جایگذاری رابطه (2-36) در معادله (2-32) چگالی تراز تک ذرهای مربوط به پتانسیل نوسانگر هماهنگ بصورت زیر بدست میآید
(2-37) g_HO (E)=(E-V_0 )^2/(ħω)^3 {1-[1-2/π arcsin√(|V_0 |/(E-V_0 ))┤┤+4/3π (|V_0 |/(E-V_0 ))^(3/2) √(E/(E-V_0 ))
+├ 2/π √(|V_0 |/(E-V_0 )) √(E/(E-V_0 ))]├ θ(E)}
این درحالی است که پتانسیل نوسانگر هماهنگ نسبت به چاه مربعی به آرامی تغییر میکند و دارای لبه کاملاً تیز نمیباشد بطوریکه انرژی جداسازی در آن بینهایت میشود. از سوی دیگر در یک هسته فاصله بین ترازها یکسان نیست درحالی که در نوسانگر هماهنگ فاصله بین ترازها یکسان است ولی در چاه مربعی این طور نیست.
باتوجه به نکات ذکر شده پتانسیل ابتدایی دیگری بصورت شکل(2-3) برای هسته معرفی شده است که یک چاه پتانسیل مربعی بالبه گرد شده است و به آن پتانسیل وودز-ساکسون گفته میشود، که به پتانسیل بینابینی نیز معروف است این پتانسیل براساس شکل چگالی ماده هستهای برحسب فاصله از مرکز هسته ارائه شده و با رابطه زیر معرفی میشود
(2-38) V^WS (r)=(-V_o)/(1+exp((r-R)/a) )
که در آن R شعاع هسته و a پارامتر ضخامت سطح میباشند و V_0عمق چاه است که بصورت زیر تعریف می شود
(2-39) V_(0=) 51±33((N-Z)/A)
که درآن علامت مثبت مربوط به پروتون و علامت منفی مربوط به نوترون است. پتانسیل وودز-ساکسون در شکل (2-3) رسم شده است.
شکل (2-3) نمودار پتانسیل وودز-ساکسون بصورت تابعی از فاصله از مرکز هسته[24]

در محاسبه چگالی تراز تک ذرهای با روش نیمه کلاسیکی برای پتانسیل وودز-ساکسون جمله مربوط به برهمکنش اسپین مدار درنظر گرفته نشده است و همانطور که از معادله (2-32) مشخص است در روش نیمه کلاسیکی با استفاده از پتانسیلهای میدان متوسط هسته، چگالی تراز تک ذرهای بصورت تابعی از انرژی تک نوکلئونها تعیین میشود.

دسته بندی : پایان نامه ارشد

پاسخ دهید